Готовимся к ЕГЭ. Решаем текстовые задачи В13. Задачи на движение прямолинейное

Почему текстовые задачи относятся к простым?
Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. Формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

1. х на 5 больше у

2. х в пять раз больше у

3. z на 8 меньше, чем x

4. z меньше x в 3,5  раза

5. t1 на 1 меньше, чем t2

6. частное  от деления  a на b   в полтора раза больше b

7. квадрат суммы x и y равен 7

8. x составляет 60 процентов от y

9. m больше n на 15 процентов

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте!

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах 7  и 8. Из года в год мы,  учителя, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « х на 5 больше у». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы)))

Итак, правильные ответы:

1. х больше, чем у. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
х = у + 5; y = x - 5

2. х больше, чем у, в пять раз. Значит, если умножить у на 5, получим х.  х = 5у; y = x : 5

3. z меньше, чем y. Разница между ними равна 8. Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу. z = y - 8;          y = z + 8

4. z = x : 3,5;  x = 3,5z

5. t1 меньше, чем t2. Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую. t1 = t2 - 1;  t2 = t1 + 1

6. a : b = 1,5b

7. 

На всякий случай повторим терминологию:
Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
Разность — результат вычитания.
Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
Частное — результат деления чисел.

8. x = 0,6y
Мы помним, что 60% от у равно у : 100 * 60 = 0,6у.

9. m = 1,15 n
Если принять n за 100%, то m на 15 процентов больше, то есть m = 115% n.

Разминка прошла успешно. Приступаем к решению задач.

И начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. 

Здесь всего два правила:

1. Все эти задачи решаются по одной единственной формуле:            S = v * t, то есть расстояние =скорость * время. Из этой формулы можно выразить скорость v = S : t или время t = S : v.

2. В качестве переменной x удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. 

Помним, что текстовые задачи 

на самом деле очень просты.

1. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за x? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на 40 километров больше, значит, его скорость равна (x + 40).

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести скорость — она равна x и (x + 40) для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: t = S :v. Для велосипедиста получим     t1 = 50 : x, для автомобилиста t2 = 50 : (x + 40).
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что t1 на четыре больше, чем t2  , то есть              t2 + 4 = t1

Решаем уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на x +4, вторую — на x.

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение…), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. 

Если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к общему знаменателю» или «Как раскрывать скобки» — вы получите нужный вам конкретный ответ. 

 Учитель всегда будет рад помочь своему любознательному ученику.

Получим:

Разделим обе части нашего уравнения на 4. В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

Умножим обе части уравнения на х(х + 40). Получим:

х(х + 40) = 500

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Х2 + 40х = 500

Х2 + 40х – 500 = 0

Мы получили квадратное уравнение.


Напомним, что квадратным называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0. Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле D = b2 – 4ac , затем корни по формуле




В нашем уравнении a = 1, b = 40, c = - 500 .

Найдем дискриминант D = 1600 + 2000 = 3600 и корни: x1 = 10,     x2 = - 50.


Ясно, что x2 не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.


Ответ: 10.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.


Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна х. Тогда его скорость на обратном пути равна (х + 3). Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — 70 километров. Осталось записать время. Поскольку t = S : v, на путь из A в B велосипедист затратит время t1 = 70 : x , а на обратный путь время t2 = 70 : (x + 3) .

На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из A в B. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на 3 часа меньше.

Значит, t2 на три меньше, чем t1. Получается уравнение:



Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:




Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

Разделим обе части уравнения на 3.




Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учителю! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для учителя такое объяснение — дело нескольких минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.


Умножим обе части уравнения на х(х + 3), раскроем скобки и соберем все в левой части: х2 + 3х – 70 = 0


Находим дискриминант. Он равен 9 + 4 * 70 = 289.


Найдем корни уравнения:


х1 = 7. 
Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ х2 = - 10 не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 7.

3. Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 36 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на 54 км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Пусть x (км/ч) - скорость первого автомобилиста.

Примем путь из A в B за единицу. Тогда время, которое затратил первый автомобилист на дорогу, равно 1/x.

У второго автомобилиста время равно 0,5/36+0,5/(x+54).

Так как в конечный пункт оба автомобилиста прибыли одновременно, то составим и решим уравнение:

1/x = 0,5/36+0,5/(x+54),

1/x = 1/72+0,5/(x+54),

x+54 - 0,5x = (1/72 )x(x+54),

36x+54·72 = x2+54x,

x2+18x-54·72 = 0,

x1 = -72, x2 = 54.

Так как скорость не может быть отрицательной, то получаем, что скорость первого автомобилиста равна 54 км/ч.

Ответ: 54.

4. Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,6 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой - со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча?

Пусть x (км) - искомое расстояние.

Значит первый человек прошел до встречи x км. А второй прошел 3,6+(3,6-x) = (7,2 - x) км.

Так как время на путь потрачено одинаковое, то составим и решим уравнение:

x/2,7 = (7,2 - x)/4,5,

4,5x = 2,7(7,2 - x),

4,5x+2,7x = 19,44,

7,2x = 19,44,

x = 2,7.

Значит, пешеходы встретятся на расстоянии 2,7 км от точки отправления.

Ответ: 2,7.

Решите самостоятельно.


5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 10