Готовимся к ЕГЭ. Задачи на движение по кругу

На первый взгляд, кому-то задачи В13 на круговое движение могут показаться сложными и какими-то запутанными в сравнении с обычными задачами на прямолинейное движение. Но это только на первый взгляд.

Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула S = v * t. Но есть одна хитрость, о которой мы расскажем.


1. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за x и y. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 минут, то есть через 1/6   часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 минут, то есть 40/60 = 2/3 часа.

Запишем эти данные в таблицу:

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 минут, то есть через пол часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна 30 км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему, предварительно упростив уравнения:

Получим, что x = 20, y = 80. В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: 80.

2..  Две точки двигаются по окружности длиной 1,2 м с постоянными скоростями. Если они двигаются в разных направлениях, то встречаются через каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждые 60 с.. Найдите скорость каждой точки. Ответ запишите в м/мин.

Обозначим скорости точек через х и у. Когда они двигаются в разных направлениях, они сближаются, значит скорость сближения (х + у). Общее расстояние равно длине окружности 1,2 м. Когда они двигаются в одном направлении, то скорость сближения (х – у) и одна точка догоняет другую, значит проходит расстояние на круг больше.

Помним формулу S = v * t, составляем систему уравнений. 

Разделим первое уравнение на 15, второе на 60. 

Почленно складываем, получаем 2х = 0,1; х = 0,05(м/с) или 3м/мин Чтобы найти у, подставляем значение х в любое уравнение. у = 0,03 (м/с) или 1,8 м/мин.

Ответ: 1,8; 3

3.Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?


Данная задача легко превращается в задачу на прямолинейное движение. Как?

Мысленно развернём круговую трассу в прямую. На ней стоят два мотоциклиста. Один из них отстаёт от другого на 11 км, так как сказано в условии, что длина трассы 22 километра.

Скорость отстающего на 20 километров в час больше (он догоняет того, кто впереди). Вот вам и задача на прямолинейное движение.

Итак, искомую величину (время, через которое они поравняются) примем за х часов. Скорость первого (находящегося впереди) обозначим у км/ч, тогда скорость второго (догоняющего) будет ( у + 20).

Занесем скорость и время в таблицу.

Заполняем графу «расстояние»:

Второй проезжает расстояние (до встречи) на 11 км больше, значит
11/20 часа это то же, что и 33/60 часа. То есть, до их встречи прошло 33 минуты.

Как видим, сама скорость мотоциклистов в данном случае не имеет значения.

Ответ: 33

Для закрепления материала, аналогичная задача. Решите самостоятельно:

4. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Если есть необходимость, можете посмотреть решение:

На первый взгляд тип задачи в сравнении с предыдущей кажется совершенно иным. Имеется круговое движение, длина трассы. Но это только на первый взгляд. Задача точно такая же.

Имеем двух мотоциклистов. Один отстаёт от другого на 7 км. Скорость отстающего на 21 км/ч больше, он догоняет первого. Вот вам и задача с прямолинейным движением.

Разница в расстоянии между мотоциклистами 7 км (половина круга), поэтому сравнение будем проводить по расстоянию. Время через которое они поравняются примем за х, скорость впереди идущего – у, скорость догоняющего (у + 21)

Заполняем таблицу:

Второй проезжает на 7 км больше, чем находящийся перед ним. 

 (у + 21)х = ух + 7
 ух + 21х – ух = 7
 21х = 7
 х = 1/3, это 20 минут

Ответ: 20

5. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Данная задача представляет относительную сложность. 

Что сразу стоит отметить? Это то, что мотоциклист проходит с велосипедистом одинаковое расстояние, догоняя его первый раз. Затем он снова догоняет его второй раз, при чём разница пройденных расстояний после первой встречи составляет 30 километров (длина круга). Таким образом, можно будет составить два уравнения и решить их систему. Нам не даны скорости участников движения, поэтому можно будет ввести две переменные. Система из двух уравнений с двумя переменными решается.

Итак, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч.

Сорок минут это 2/3 часа, 8 минут это 8/60 часа, 36 минут это 36/60 часа.

Скорости участников обозначим за х км/ч (у велосипедиста) и у км/ч (у мотоциклиста).

В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 8 минут, то есть через 8/60 часа после старта.

До этого момента велосипедист был в пути уже 40+8=48 минут, то есть 48/60 часа.

Запишем эти данные в таблицу:

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть

Затем мотоциклист второй раз догнал велосипедиста. Произошло это через 36 минут, то есть через 36/60 часа после первого обгона.

Составим вторую таблицу, заполним графу «расстояние»:

Так как сказано, что через 36 минут мотоциклист снова догнал велосипедиста. Значит, он (мотоциклист) проехал расстояние равное 30 километрам (один круг) плюс расстояние, которое за это время проехал велосипедист. Это ключевой момент для составления второго уравнения.

Один круг — это длина трассы, она равна 30 км.

Получаем второе уравнение:

Решаем систему уравнений:

30х = 300

х = 10

Значит у = 6 ∙10 = 60.
То есть скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.

Ответ: 60

Решите самостоятельно:

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Можете сравнить своё решение с предложенным:

Во-первых, переведём минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за х и у. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 минут, то есть через 1/6 часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 минут, то есть 2/3 часа. 

Заполним таблицу:

Оба проехали одинаковые расстояния

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 минут, то есть через ½ часа после первого обгона.

Составим таблицу:

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста, значит он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг - это длина трассы, онп равна 30 км.

Составляем уравнение:

И решаем систему уравнений:

х = 30, у = 80. в ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: 80

Следующий тип задач на круговое движение вообще «уникален». Есть задачи, которые решаются устно. И есть такие, которые без глубокого понимания и большой внимательности при рассуждениях решить крайне сложно. Речь идёт о задачах про стрелки часов.

 Но это уже на следующем занятии.